常海走近最后一面石墻,并未直接動手,而是舉著粉筆思索了片刻,接著便回頭和莫寒說到:“莫兄,在下的證明過程可能除了數學表達式還會使用諸多的文字,不知莫兄是否知曉錫恩當地的通用語言?”
莫寒心中一驚,他本以為常海與他交流使用基洛語只是出于個人習慣,沒成想常海竟然不會錫恩的官方語言——德蘭語!德蘭語是各類文獻和參考資料的通用語言,如果你不會德蘭語,那么在閱讀各類資料的時候必然重重受阻,科研工作寸步難行。一位數學知識如此高深的學者為何會不懂德蘭語?莫寒暫時按下心中的疑問,先回答道:“錫恩本地常用語是德蘭語,在下頗為精通。”
“那正好!我會先用基洛語寫下過程,并且留出位置讓你用德蘭語進行翻譯,勞煩莫兄了!”常海抱拳說到。
常海的地球禮節讓莫寒似乎有些不知所措,“這大概便是常兄家鄉的打招呼方式吧……”莫寒暗自想著,也有模有樣地學著回了一禮,同時答道“榮幸之至!”
事已至此,常海便不再磨蹭,提起粉筆便開始作答。
在地球的歷史中,五次方程的一般根式解的問題困擾了數學家們幾百年,直到兩位數學天才橫空出世,才撥云見日解開了這道千古謎題。
最早給出高于四次的一般代數方程沒有一般形式的根式解的結果的數學家是阿貝爾,但是由于其證明過程過于復雜艱深,以至于大部分數學家都無法理解,所以其論文一直得不到重視和發表。使其一生困頓拮據,最終死于肺結核。
后來伽羅瓦也獨立給出了這個千古難題的證明,并系統地提出了群論,這一理論標志著現代數學的開端,就是從這里開始數學漸漸遠離了常人的視野,漸漸發展成了大家看不懂的模樣。伽羅瓦一生研究數學的時間不超過五年,他曾三次向科學院遞交論文,但是由于超越時代太多的原因,三次論文都被退回或遺失,直到伽羅瓦死后其文章才真正得到世人們的重視。
如果沒有這兩位流星一般的天才的出現,那么數學史翻開新的篇章的時間不知要被推遲多久。
此時,常海已經在石墻上寫下了不少的篇幅。
所謂五次及以上方程無一般根式解,并非指五次以上方程無解。高斯的代數基本定理清楚地告訴人們,幾次方程便在復數域內有幾個根(計及重根)。有一般根式解指的是方程在復數域內的所有根都可以通過其系數域的有限次開方和四則運算表示出來。
常海在寫下這一條顯而易見的命題后,便開始了對群和域的定義。
所謂群,便是一個擁有滿足封閉性、滿足結合律、有單位元、有逆元的二元運算的代數結構。而域則包含兩個二元運算,其中一個二元運算可以和域元素構成交換群(刪除單位元時仍成立),另一個二元運算對此運算滿足分配律。
這兩個較為佶屈聱牙的定義便占據了不小的篇幅。莫寒一邊皺著眉頭思索,一邊艱難地進行著翻譯,待德蘭語版本的證明漸漸鋪上墻面后,本來鴉雀無聲的人群漸漸有了躁動。
“……他是在定義什么?怎么看起來花里胡哨的……”
“……我也看不出有什么大用處啊,怕不是在嘩眾取寵……”
常海在給出這兩個定義后便開始舉例,先舉了常見的對稱群、點群,接著便是接下來證明需要用到的置換群和實數域、復數域。有了例子之后便要給出群同構、域同構以及擴域的定義。所謂同構便是等價關系的一種,構成群的代數結構相等便是同構,對于兩個群,只要存在兩者間的雙射使得群運算得以保持便可以稱兩個群同構,域同構與之同理。所謂擴域便是在原域中添加一個不屬于此域的元素,而包含新元素且仍構成域的代數結構便稱為其擴域。
隨著這些具有可操作性的例子逐漸給出,莫寒緊皺的眉頭漸漸放松了下來,雖然在某些技巧細節上自己還不太清楚,但是整體上已經跟上了常海的思路。
而圍觀群眾又開始如冷水一般寂靜,看來這些理論并不是常人能在短時間內消化的。
在有了以上知識的鋪墊后,常海終于可以用專業語言精確地表達一個多項式是否有根式解的問題了:一個多項式有根式解等價于通過有限次添加根式,將其系數域擴張為某個包含該多項式根域的擴域,即該多項式的根域包含于系數域的某個根式擴域中。
在寫下這個命題后,整個證明終于要進入最重要的部分了。此時雖然已經過了下午溫度最高的時間,但是常海的額頭上仍然滲出了汗水,常海用衣袖簡單擦拭了一下微紅的臉頰便準備繼續作答。
這時,一只蒼老的手從一旁遞來一杯水,“小子,先喝一口。”
常海順著聲音望去,手的主人正是那位一開始坐在紀念塔臺階上的老人,常海無法想象他是怎么靠著一把老骨頭穿過重重人群,站到自己身邊的。
常海接過水,道了聲謝,隨口問道:“您老人家也懂這個?”
老人微微一笑,說到:“略懂,略懂。人老了腦子就轉得慢,不過大致還是看的明白,你且繼續。”
常海也不過多糾結,擼起袖子,便開始書寫核心部分。
整個證明的最關鍵就在于伽羅瓦所提出的伽羅瓦群和伽羅瓦定理。所謂伽羅瓦群便是指從根域到自己的所有保持系數域元素不變的域同構全體。這個群中的群元素是根域的自同構。而伽羅瓦群的每個群元素都對應著方程的根集的一種置換,所以方程在系數域上的根域的伽羅瓦群是方程所對應的同次對稱群的同構。
而伽羅瓦定理便是一個多項式擁有根式解的充要條件是該多項式的根域在系數域上的伽羅瓦群是可解群。所謂可解群便指這個群擁一個正規列(即一個序列,序列中每個群都是前一個群的正規子群,最后一個元素為平凡子群{1}),而其所有商群皆為交換群。
在得知以上結果后,只需要最后一條引理,整個證明便可以完成:二次、三次、四次對稱群都是可解群,而五次以上的對稱群為非可解群,所以五次以上方程沒有一般根式解!
這幾個定理的證明艱深而晦澀,在常海粉筆的刷刷聲中時間匆匆流過。隨著太陽漸漸西去(是的,這個星球的自轉方向也是自西向東)周圍觀看的人群也漸漸減少。士兵們在石墻頂部擺上一排煤油燈,明亮的燈火立刻隱去了夕陽的余暉,連帶著夕陽投下的黯淡的影子也被翻轉了半周齊齊向后鋪去,燈火照亮著為數不多的看客沉思的臉龐,但是他們那求知的眼神卻比燈火更加明亮。
隨著常海越寫越多、越寫越快,莫寒也漸漸激動了起來,他已經隱約可以窺見整個證明的全貌了!這證明是如此精妙絕倫,所使用的方法和技巧只能用巧奪天工來形容。一旁的老人眸子中也有微光在閃動,似乎也完全沉浸在了這證明里。
待常海終于為整篇證明劃上最后一個句號時,一陣寒風突然吹過,常海不由得打了個冷顫。他緩緩放下粉筆,慢慢回過頭去,卻發現在場的人只有仍在翻譯的莫寒、看不出神情的莫靈和那位目光深邃的老人了。在不遠處的墻角,大壯和融義已經互相依偎著睡去。
夜色已深。
毫無疑問,這面墻壁上所書寫的內容是美麗的,它比萬水千山的繁華錦繡更加瑰麗壯闊,比戀人眸子中的那一灣秋水更令人魂牽夢繞,它在地球上開啟了一個新時代,在這里亦將如此。可是懂得欣賞這一方美麗的人,卻永遠是少數。
天鵝絨質地的夜幕下,常海緩緩轉過身面向這幾人,鄭重其事地宣布到:“證明完畢!”
常海的面色帶著驕傲,如同一位演出完畢的音樂家,接著他深深彎腰,為這三名觀眾行上一個鞠躬禮。
三人沒有鼓掌,他們學著常海的模樣對著前方也深深地鞠了一躬,似乎是在面朝向石墻,又似乎是在朝向常海本人。
就在這安靜的儀式中,歷史已經悄悄改寫。